domingo, 27 de febrero de 2011

HIDRODINÁMICA ELEMENTAL PARA ESPELEÓLOGOS (I)


Características del flujo laminar y turbulento y el número de Reynolds (Re).

Marius van Heiningen


INTRODUCCIÓN.
Al leer el título de este artículo una reacción lógica de muchos lectores puede ser: ”Bueno, si a mi me gusta visitar cuevas, para que necesito saber algo de hidrodinámica”? Sin embargo, no hay que olvidar que las cuevas se forman principalmente debido a la disolución de la roca por los flujos de agua y que el comportamiento de estos flujos influye en gran medida, tanto en la formación de las galerías individuales, como en el conjunto de conductos que componen el sistema hidrológico.
Repasaré algunos elementos básicos de flujos, intentando aburrir lo menos posible al lector y explicando en que parte de la espeleogénesis son importantes.
Este primer artículo tratará dos tipos de flujo de un líquido: el flujo laminar y el flujo turbulento, además se explica la manera de distinguirlos, mediante el número de Reynolds.

PEQUEÑA ADVERTENCIA.Me gusta describir las derivaciones y diferentes pasos para conseguir las formulas con bastante detalle. Es cierto que para algunos lectores no hace falta una descripción tan exhaustiva. Sin embargo, no todos tenemos el mismo nivel de educación en asignaturas como la física o las matemáticas y por tanto prefiero ir paso a paso.
A menudo se describe una formula tanto en símbolos como en palabras, porque al ponerla en el blog las formulas se suelen “mutilar”. Espero que la combinación de “formula mutilada” y descripción sea suficiente para poder entenderlo.


UN POCO DE HISTORIA.
Ya entre 1842 y 1845, Sir George Gabriel Stokes (que además en 1851 derivó la Ley de Stokes, usada para determinar la velocidad de caída de una partícula en un fluido) publicó los primeros artículos acerca de la dinámica de los fluidos, tratando aspectos de su movimiento y fricción. Stokes ya se daba cuenta de la importancia en la relación entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad. Sin embargo, no fue hasta 1883 cuando Osborne Reynolds lo popularizó con el conocido Número de Reynolds, que compara directamente la importancia de ambas fuerzas.




LAS FUERZAS QUE TRABAJAN SOBRE UNA UNIDAD DE AGUA.
Visto desde el punto de vista de un flujo se puede determinar básicamente dos tipos de fuerzas: Las fuerzas de inercia y las fuerzas de fricción. ¿De que estoy hablando?

Las fuerzas de inercia: Imagínate una unidad de agua que se mueve en una cierta dirección dentro de un tubo. Ahora, si el tubo hace una curva, esta unidad de agua tiende a seguir recto. Además, puede que la unidad esté rotando (girando). Así pues, la tendencia de seguir recto y seguir rotando se llama inercia, y cuanto mayor es la densidad (masa) y la velocidad de esta unidad, mayor es su inercia y más cuesta cambiar su trayectoria o rotación. Hay que mencionar que en trayectos rectos también hay inercia debido a la rotación.

En formula: F = ρ * v2 / LEn palabras: Las fuerzas de inercia (F) son igual a la densidad (ρ) multiplicado con el cuadrado de la velocidad media del flujo (v), dividido por una longitud característica (L).

Fuerzas de fricción: Cuando una unidad de agua intenta seguir recto (ya dentro de la curva), va a rozar (fricción) con otras unidades vecinas y las intentará empujar hacia un lado. La resistencia que oponen estas unidades vecinas se llama fricción. Si esta unidad realmente es capaz de desviar su trayectoria, desplazando unidades vecinas, entonces su inercia ha “vencido” a la fricción. Cuando hablamos de fuerzas de fricción dentro de líquidos, se suele hablar de fuerzas viscosas.

En formula: F = μ * v / L2
En palabras: Las fuerzas viscosas (F) son igual a la viscosidad dinámica (μ) multiplicado por la velocidad media (v), dividido por el cuadrado de la longitud característica (L).


EL NÚMERO DE REYNOLDS.
Arriba se ha descrito que el movimiento de una unidad de agua dentro de un flujo depende de la relación que existe entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas.
En realidad, una comparación numérica entre dos fuerzas no es otra cosa que el cociente resultante de la división de ambas, y el primero en describir esta relación fue Osborne Reynolds (1842-1912). Por tanto, y en su honor, este cociente se llama el Número de Reynolds (Re).

Entonces tenemos: Re = fuerzas de inercia / fuerzas viscosas

En palabras: El número de Reynolds es el cociente de las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas.

Ya conocemos las formulas de ambas fuerzas, lo que nos da:

Re = ρ * v2 / L dividido por μ * v / L2
Recordamos que dividir es multiplicar con el inverso, lo que nos da:

Re = ρ * v2 / L multiplicado por L2 / μ * v
Simplificado (rayando una v y una L) nos da:

Re = ρ * v * L / μ
En el caso de tuberías (protoconductos), la longitud característica L es igual al diámetro D del tubo.
Lo que finalmente nos da la formula del Número de Reynolds:

Re = ρ * v * D / μ
Donde:
ρ = la densidad del fluido en kg/m³
v = la velocidad media del flujo en m/s
D = el diámetro (interior) del tubo en m
μ = la viscosidad dinámica del fluido en Pa·s o N·s/m² o kg/(m·s)
La densidad (ρ) y la viscosidad (μ) son características del líquido, en nuestro caso el agua, que son constantes por una temperatura y presión. Por tanto, para una cierta temperatura (en España entre 0 y 20 grados) y presión (la presión atmosférica o algo más) el Número de Reynolds solo depende de la velocidad media del flujo y del diámetro del tubo, ambas unidades que se pueden medir.

Ya que hemos visto que la trayectoria de una unidad de agua depende de la interacción de las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. El resultado de esta “lucha” puede ser:

Ganan” las fuerzas viscosas: la unidad de agua no es capaz de empujar y de desviar a sus unidades vecinas. La resistencia viscosa “obliga” a la unidad de mantener su posición relativa a sus vecinos y evita su rotación. Tampoco no puede adelantar o ser adelantado por las unidades que se encuentran en la misma “línea de corriente”.
Un flujo con estas características se llama: Flujo Laminar.

Ganan” las fuerzas de inercia: la fricción no puede mantener a la unidad en su “línea de corriente” y como consecuencia esta unidad mueve de una manera errática por el flujo, chocando con otras unidades y ganando o perdiendo velocidad y rotación
Un flujo con estas características se llama: Flujo Turbulento.


DOS TIPOS DE FLUJOS.
Ya hemos visto que se puede distinguir dos tipos de flujo, con características muy distintas: el flujo laminar y el flujo turbulento. Si un flujo es laminar o turbulento depende de la relación entre las fuerzas de inercia y la viscosidad, en otras palabras:
El tipo de flujo depende del número de Reynolds (Re).
Si se trata de un tubo circular, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es menor de unos 2000 – 2300 (varía según la literatura). Del mismo modo, el flujo es turbulento cuando el Re es mayor de 4000 (este valor puede ser algo mayor). Parece que la mayoría de la literatura trabaja con valores de 2000 y 4000, y por tanto también lo hacemos aquí.
Cuando el Re de un flujo es entre 2000 y 4000, este flujo se encuentra en un estado de transición. Por ejemplo, el centro de un flujo en transición (donde la velocidad es máxima) tiene cierta turbulencia, mientras cerca de las paredes el flujo es laminar.

En el siguiente enlace se puede encontrar un video colgado en youtube que muestra la transición de flujo laminar a turbulento:

http://www.youtube.com/watch?v=JhASnE33omU

Este video comienza con un flujo laminar, y la trayectoria del tinte inyectada es una línea recta. La velocidad del agua va en aumento y el flujo entra en un estado de transición, que es mostrado por la perturbación de la línea recta. Finalmente el flujo es turbulento, mostrando torbellinos y una mezcla perfecta por todo el tubo.


LA DEPENDENCIA DEL NÚMERO DE REYNOLDS DEL PRODUCTO DE LA VELOCIDAD DEL FLUJO Y EL DIÁMETRO DEL TUBO.

Recordamos la formula del número de Reynolds: Re = ρ * v * D / μ
Ya se ha dicho que la densidad y la viscosidad son constantes para una cierta temperatura y presión, lo que significa que el Re por esta temperatura solo depende del producto de velocidad media y diámetro: v * D .

Por ejemplo, si la velocidad se dobla y el diámetro se disminuye a la mitad, el Re no cambia. Eso significa que si el diámetro es muy grande, es posible que un flujo es turbulento aunque la velocidad sea pequeña. Por tanto, no se puedo confirmar que un flujo lento siempre es laminar.
Sin embargo, cuando se trata de un flujo en fisuras (diámetro hasta algunos milímetros) se puede estar prácticamente seguro de que se trata de un flujo laminar.

RESUMEN DEL FLUJO LAMINAR.
Las unidades de fluido (partículas) se mueven en trayectorias definidas que en conjunto forman capas o láminas, lo que explica su nombre. Las capas entre si se mueven casi sin interferencia y por tanto prácticamente no se transfiera energía entre las capas ni se intercambian partículas.


La figura 1 muestra como en un flujo laminar las líneas de corriente se pueden acercar, causado por un obstáculo como en la figura o por un estrechamiento del tubo, pero nunca se pueden cruzar.
Las características de un flujo laminar:
- Las fuerzas viscosas son importantes.
- El número de Reynolds es menor de 2000.
- Se suele tratar de flujos lentos, aunque también depende del diámetro.
- Las partículas (unidades) se mueven en trayectorias definidas (líneas de corriente), que entre si no se pueden cruzar (ver figura 1), aunque si se pueden acercar o alejar entre ellas.
- Estas trayectorias en conjunto forman capas.
- La velocidad es máxima en el centro del tubo y nula donde las paredes, y la distribución del flujo tiene la forma de un parábola (figura 2).


La figura 2 muestra la distribución de la velocidad de un flujo laminar dentro de un tubo, que tiene forma de parábola. Se puede observar que la velocidad es máxima en el centro y cero donde las paredes, y que las líneas de corrientes son paralelas ( si no hay obstáculos).

Su importancia en la espeleogénesis:
Como la interacción entre las diferentes capas o líneas de corriente es mínima, la caliza disuelta se queda en las capas cercanas de la pared, llegando a concentraciones altas. Por tanto la disolución de la roca caliza es más lenta, incluso si la concentración media de todo el flujo no es alta.
Como el flujo en las fisuras y sus intersecciones suele ser laminar, su influencia en determinar la posición de las futuras galerías es enorme. Por tanto, la geometría de los conductos freáticos como conjunto, es decir el origen del sistema hidrológico, depende en gran parte del flujo laminar.
Además, la aplicación de las leyes de la hidrodinámica depende del tipo de flujo. Lo que significa que antes de poder realizar cualquier cálculo, por ejemplo para saber el momento de ruptura (formación de un protoconducto), se necesita saber de que flujo se trata.

RESUMEN DEL FLUJO TURBULENTO.Las unidades de fluido se mueven en trayectorias erráticas, formando torbellinos y vórtices, resultando en un flujo bien mezclado. Las partículas transfieren energía entre ellas


La figura 3 muestra de un modo esquemática algunas trayectorias de partículas en un flujo turbulento. El flujo es hacia la derecha, lo que no impide que también hay partículas que se muevan hacia la izquierda.

Las características de un flujo turbulento:- Las fuerzas viscosas son de poca importancia, ha “ganado” la inercia.
- El número de Reynolds es mayor de 4000.
- Se suele tratar de flujos no tan lentos, hasta muy rápidos, aunque también depende del diámetro.
- Dentro del flujo se forman torbellinos y vórtices.
- Las partículas (unidades) NO se mueven en trayectorias definidas, sino muy erráticas, chocando entre ellas, aumentando o disminuyendo su inercia (figura 3)
- La velocidad es máxima en el centro del tubo y nula donde las paredes, sin embargo, la distribución del flujo NO tiene la forma de un parábola (figura 4).

Su importancia en la espeleogénesis:La turbulencia de las partículas distribuye la caliza disuelta de forma efectiva por todo el flujo, evitando una saturación del agua cerca de las paredes, lo que resulta en una disolución más rápida.
Desde el momento en que las fisuras se convierten en protoconductos, en la gran mayoría de los casos se trata de un flujo turbulento. Este flujo es en parte responsable por el gran aumento en la velocidad de disolución en el momento de formación de un protoconducto.
Recuerda que el evento de ruptura (breakthrough en inglés) se suele ocasionar cuando el diámetro de una fisura (o una intersección de fisuras en forma circular) llega a entre 0,5 cm y 1 cm.


La figura 4 muestra la distribución de la velocidad de un flujo turbulento dentro de un tubo. La velocidad es máxima en una amplia zona alrededor del centro del tubo. El flujo es hacia la derecha.

La foto 1 muestra el flujo turbulento (usando colores falsos). El flujo es hacia la derecha. Foto tomado por la Universidad Técnica en Delft, en Holanda, uso libre.

EXPERIMENTO.
En youtube se encuentra colgado el siguiente video:
http://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50&feature=related

En este experimento se inyecta en un bote con líquido 3 gotas de tinte, cada una de un color (rojo, verde y azul), y los tres a la misma altura. Después dan lentamente 5 vueltas al líquido dentro del bote y parece que las tres gotas se han mezclado íntimamente. Sin embargo, a continuación dan 5 vueltas para atrás y vuelven a aparecer las 3 gotas originales.

La explicación es que las gotas NO se habían mezclado íntimamente. A dar vueltas el tinte se ha movido en trayectorias circulares, pero cada trayectoria con una velocidad diferente. El tinte que se encuentra en una trayectoria más rápida “adelanta” a sus vecinas más lentas y por tanto parece que el líquido se había mezclado. Sin embargo, en realidad se trata de trayectorias diferentes, aunque muy cercanas. Dando 5 vueltas para atrás, todos las partículas vuelven por sus propias trayectorias para acabar en su punto de origen (las gotas originales).
Este resultado solo es posible si las líneas de corriente (trayectorias) NO se habían cruzado y por lo tanto es una demostración de un flujo LAMINAR.


Bonita foto de la NASA que muestra un vórtice de aire (flujo turbulento) por detrás de un avión, generado por la punta de ala. Foto de uso libre, como todas las fotos de la NASA (las que no tienen una notificación indicando lo contrario).


UN EJEMPLO.
En este ejemplo vamos a calcular el número de Reynolds.

Recordamos la formula del número de Reynolds: Re = ρ * v * D / μ
Necesitamos saber:
La densidad del líquido (ρ), en kg/m3
La velocidad media (v), en m/s
El diámetro del tubo (D), en mLa viscosidad dinámica (μ), en Pa·s o N·s/m² o kg/(m·s)

Pues nos imaginamos la siguiente situación:
Agua de 10 ºC que fluye por un tubo con un diámetro de 3 cm con una velocidad de 0,5 metros por segundo.

Los datos son:
ρ = 999,77 redondeado en 1000 kg/m3
v = 0,5 m/s
D = 0,03 m
μ = 0,001308
Substituyendo en la formula nos da:

1000 x 0,5 x 0,03 / 0,001308 = 15 / 0,001308 = 11.468 El flujo es turbulento.
Otra situación: Agua de 10 ºC que fluye por un tubo con un diámetro de 5 cm con una velocidad de 5 cm por segundo.

Substituyendo en la formula nos da:

1000 x 0,05 x 0,05 / 0,001308 = 2,5 / 0,01308 = 1911 El flujo es laminar.

Los datos de viscosidad y densidad se han obtenido de las tablas 1 y 2.


COMO CALCULAR EL NÚMERO REYNOLDS POR CONDUCTOS NO CIRCULARES.
Si el conducto no es circular, lo único que cambia es la determinación del diámetro.

Entonces el diámetro es D = 4*A / PDonde:
A es la superficie del conducto y
P es el perímetro mojado.

Por ejemplo el D de un rectángulo de 3 por 5 cm:
La superficie es 0,03 x 0,05 = 0,0015 m2
y el perímetro mojado es 0,03 + 0,05 + 0,03 + 0,05 = 0,16m

D = 4 x 0,0015 / 0,16 = 0,006 / 0,16 = 0,0375 m = 3,75 cm


VISCOSIDAD CINEMÁTICA.

También es posible encontrar la formula del Número de Reynolds en la siguiente forma:

Re = v * D / υ
Donde υ es la viscosidad cinemática, que es la viscosidad dinámica dividido por la densidad, en formula:

υ = μ / ρ ( en m2/s)
No hay que equivocarse con el símbolo v de velocidad.


La tabla 1 muestra la viscosidad dinámica del agua por las temperaturas de 1 ºC hasta 25 ºC. Los datos se han obtenido de: http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/viscoh2o.pdf



La tabla 2 muestra la densidad del agua por las temperaturas de 1 ºC hasta 25 ºC. Los datos se han obtenido de: http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/denh2o.pdf


RESUMEN POR VÍDEO.
El internet ha hecho posible que los centros de investigación pueden colgar videos que de otro modo serían muy difíciles de conseguir. He encontrado este video en español, hecho por la Escuela de Ingeniería de Antioquia (Medellín, Colombia), que resume muy bien los puntos importantes de este artículo.

Muy buen video: http://www.youtube.com/watch?v=xFCXGXOHO_s&feature=fvw



3 comentarios:

luis dijo...

Hola Marius;

Buen resumen de Hidrodinamica. Me ha servido para repasar los conceptos basicos,que estudie hace ños. Te animo a que sigas con esta serie de articulos.
Un saludo.

Antonio Reolid Castillejo dijo...

Hola Marius,
Acabo de ver tu comentario en mi blog, perdona por mi tardanza.
Me parece un muy buen blog, con muy buenas explicaciones.
Ahora mismo lo recomiento en mi blog.
Un saludo
Antonio Reolid

Marius van Heiningen dijo...

Hola Antonio, muchas gracias.

Hola Luis, me alegro que te ha servido.

Un saludo

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